melde Dich doch einfach hier an, dann kann man mehr reden, zum Beispiel, falls nötig auch private nachrichten senden.
Vor den Antworten kommen die Fragen

Arbeitest Du für länger in Schweden? Ich meine, ich es ein Angebot für länger oder soll es eine kurze Sache (unter einem Jahr) sein? Das macht nämlich den Unterschied aus.
Bist Du länger als ein Jahr in Schweden, oder hast es vor, dann hast Du die Möglichkeit die PN zu bekommen.
Das geht so, Du gehst zum Migrationsverket und meldest Dich erst mal an. Die geben Dir eine Bestätigung auf der steht, dass Du im Land arbeiten darfst. Damit gehst Du zum Skatteverket und beantragst die PN. Schau bitte mal hier im Forum. Die richtigen Formulare kannst Du jeweils bei http://www.migrationsverket.se und http://www.skatteverket.se auf englisch runterladen.
Die Nummer brauchst Du um in Schweden leben zu können im wahrsten Sinne des Wortes. Ohne ist alles einfach viel schwerer. Man kann damit ein Konto eröffnen, einen Telefonanschluss beantragen und und und. Du musst sie fast überall angeben. Die Nummer besteht im Grunde aus Deinem Geburtsdatum. Dahinter stehen noch vier weitere Ziffern, die Dich von allen anderen, die am gleichen Tag geboren wurden, unterscheidet. Mit der Nummer weiss der Staat quasi alles von Dir, er erledigt sogar die meiste Arbeit bei der Steuererklärung für Dich, aber das ist ein anderes Thema

Krankenversichert bist Du in Schweden automatisch, wenn Du eine PN hast, was reine Formsache ist, wenn Du aus einem EU-Land kommst, einen Job hast und länger als ein Jahr bleiben möchtest.
Es kann sein, dass Du noch mal zur Kasse hin musst, aber meist geht das automatisch. Wir jedenfalls haben schnell nachdem wir die PN hatten, einen Brief von der Försäkringskassan bekommen.
unter http://www.försäkringskassan.se findest Du Infos.
Kannst Du schwedisch? Wenn nicht hast Du die Möglichkeit neben der Arbeit einen SFI-Kurs zu machen (kostenlos). Du kannst auch Deinen Arbeitgeber fragen ob er Dir einen Kurs bei der folkuniversitätet zahlt. Die sind kleiner und angeblich effektiv. Aber eben auch recht teuer. Viele AGs zahlen das nicht mehr unbedingt. Aber der SFI ist auch schon sehr gut.
Das wäre für den Anfang schon mal genug

Wenn Du weitere Fragen hast, nur her damit.
Grüße
Wiebke