Hallo,
hast Du's schon beim Skatteverket direkt probiert, eine personnummer zu erhalten? Es gibt da verschiedene Regeln sowie wieder andere Erfahrungen, was in welcher Reihenfolge zu beantragen ist. Oft ist es wohl auch "Glückssache", je nachdem mit welchem Mitarbeiter man es zu tun bekommt.
Ich habe damals ohne Probleme zuerst die Personnummer beantragt. Zu dem Zeitpunkt konnte ich noch keinen Arbeitsvertrag vorweisen, hätte aber (bei Nachfrage) den Kontakt zu meinem Arbeitgeber angeben können. Soweit ich mich erinnere, hat bei mir da aber niemand nach gefragt. Wichtig war da, dass man eine Adresse angeben konnte sowie plant, länger als ein Jahr ein Schweden zu bleiben (ansonsten gibt's nur eine zeitweilige Personnummer).
Beim Migrationsverket muss man dann entsprechend nachweisen, dass man finanziell abgesichert ist, in der Regel durch einen Arbeitsvertrag. Die Registrierung beim Migrationsverket muss spätestens 3 Monate, nachdem man nach Schweden eingewandert ist, erfolgen (geht auch online, wenn man z.B. Vertrag etc. einscannt).
SFI kannst Du nur machen, wenn Du eine Personnummer erhalten hast. Dann geht die Registrierung allerdings sehr schnell und einfach: zum entsprechenden Büro in Deiner Stadt hingehen, einen Einstufungstest machen und loslegen

Wünsche Dir viel Erfolg, dass es nach Deinem etwas "missglückten" Start noch alles ins Reine kommt!

Simone