Hallo Volker,
zu deiner ersten Frage: Das kommt darauf an

Falls der Wagen abgemeldet war, dann darfst du den erst einmal gar nicht bewegen. Zur Zulassung benötigst du dann eine gültige Versicherung.
Falls der Wagen angemeldet war, dann fährst du mit der gültigen Versicherung - wie in Deutschland auch - bis zur Ummeldung, welche sich dadurch vollzieht, dass der Vorbesitzer den entsprechenden Teil des Fahrzeugbriefs (Registreringsbevis) an Transportstyrelsen schickt.
Zur zweiten Frage: Die eigentliche Versicherung - falls der Vertrag besteht - muß natürlich auch bei Zahlungsverzug zahlen. Das Abstraktionsprinzip welches Verfügungs- vom Erfüllungsgeschäft trennt, gibt es auch in Schweden (kleiner Ausflug ins Vertragsrecht). Falls kein Versicherungsschutz besteht, tritt bei einem Unfall dann diese Trafikförsäkringsförening (oder wie diese auch heißt) in Aktion und übernimmt die Deckung, so dass die Geschädigten nicht ohne Schutz dastehen. Das ist richtig gut in Schweden! Das Horrorszenario mit Unfall mit einem Fahrzeug ohne Versicherungsschutz bei dem der Geschädigte dann leer ausgeht, gibt es hier nicht.
Was es jedoch hier in Mengen gibt, sind Menschen ohne Zahlungsmoral. Deshalb ist es auch so einfach, Auskünfte über den finanziellen Hintergrund von Personen zu erhalten. Und deshalb ist es auch ganz wichtig, sich immer schön an die Routinen zu halten - gleich wie seriös und nett der Gegenüber zu sein scheint

Gilt ja eigentlich auch in Deutschland, aber meine Erfahrung zeigt, dass man sich Schweden gegenüber leichter zu Unvorsichtigkeiten verführen läßt, was manchmal gut gehen kann, manchmal (sogar unerwartet oft) aber auch ganz böse ins Auge. Immer alles schön schriftlich mit der Beweisführung im Hinterkopf

Just my 2 cents

/Paul