Hallo!
Ihr meint die "normale" Nahverkehrskarte von Stockholms Lokaltrafik (SL) für 7 Tage, oder?
Die gilt leider nicht auf den normalen Flughafenbussen und auch nicht für den Schnellzug Arlanda Express. Es ist aber möglich, mit der Karte kostenlos in die Stadt zu kommen, dabei muss man allerdings einmal umsteigen:
Bus bis Märsta und dann den Pendeltag in die Stadt hinein. Wenn Ihr es nicht gerade eilig habt und Geld sparen wollt, würde ich persönlich diese Variante wählen. Ist recht unkompliziert und die Dauer mit insgesamt einer guten Stunde gegenüber dem Flughafenbus (40 Minuten) vertretbar

Tickets gibt's in den Touristeninfos am Flughafen. Im Terminal 5 ist der Hauptsitz, ist von 6.00 - 24.00 bemannt.
In den Terminals 2 und 4 gibt es kleine Nebenstellen, wo ebenfalls Tickets verkauft werden. Diese haben aber nicht so lange geöffnet...
In SkyCity gibt es eine SJ-Verkaufsstelle, diese verkauft auch die Tickets für SL.

Einen wunderschönen Urlaub!